İçerik

• adımlar
• İpuçları

Kovaryans, iki veri kümesinin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu anlamanıza yardımcı olabilecek istatistiksel bir hesaplamadır. Örneğin, belirli bir konumdaki nüfusun yüksekliklerini ve ağırlıklarını inceleyen antropologlar olduğunu varsayalım. Çalışmadaki her bir kişi için boy ve kilo bir çift veri (x, y) ile temsil edilebilir. Bu değerler, kovaryans oranını hesaplamak için standart bir formülle kullanılabilir. Bu makale ilk olarak belirli bir kümenin kovaryansının keşfedilmesine yol açan hesaplamaları açıklayacaktır. Daha sonra, sonuca ulaşmak için iki tane daha otomatik yolla uğraşacak.

adımlar

Yöntem 1/4: Kovaryansın standart formülle elle hesaplanması

1. 

   Standart kovaryans formülünü ve parçalarının ne olduğunu öğrenin. Kovaryansı hesaplamak için standart formül. Kullanmak için aşağıdaki değişkenlerin ve sembollerin anlamını anlamanız gerekir:
   • : Bu sembol Yunanca "sigma" harfini temsil eder. Matematiksel fonksiyonlarda, ona eşlik eden değerler dizisinin toplamını temsil eder.Bu formülde, Σ işareti, kesrin payında aşağıdaki değerleri hesaplayacağınızı ve paydaya bölmeden önce bunları toplayacağınızı gösterir.
   • : Bu durumda abone olunan "i" bir sayacı veya dizini temsil eder. Veri setinde bulunan x değerlerinin her birinin hesaplamasını yapacağınızı gösterir.
   • : "med", x'in (med), x'teki tüm noktaların ortalama değerini temsil ettiğini gösterir. Bu ortalama, üzerinde küçük bir yatay çizgi olan bir x olarak da yazılabilir. Bu durumda, değişken "x çubuğu" olarak adlandırılır, ancak yine de veri kümesinin ortalamasını temsil eder.
   • : yine, abone olunan "i" bir sayacı veya dizini temsil eder. Veri setinde bulunan y değerlerinin her birini hesaplayacağınızı gösterir.
   • : "med", y'nin (med) y'deki tüm noktaların ortalama değerini temsil ettiğini gösterir. Bu ortalama, üzerinde küçük bir yatay çizgi olan bir y olarak da yazılabilir. Bu durumda, değişken "y çubuğu" olarak adlandırılır, ancak yine de veri kümesinin ortalamasını temsil eder.
   • : Bu değişken, veri setinde bulunan öğelerin sayısını temsil eder. Bir kovaryans probleminde, tek bir "öğenin" hem bir x değerinden hem de bir y değerinden oluştuğunu unutmayın. N değeri, tek bir sayı değil, bir çift veri kümesidir.

2. 

   
   
   Veri tablonuzu hazırlayın. Hesaplamalara başlamadan önce verilerinizi toplamalısınız. Beş sütunlu bir tablo yapın ve her birine aşağıdaki isimleri verin:
   • : bu sütunda, veri noktası değerlerini x'e girin.
   • : Bu sütunda, veri noktası değerlerini y olarak girin. Y değerlerini karşılık gelen x değerleriyle hizalamaya dikkat edin. Bir kovaryans probleminde, veri noktalarının sırası ve x ve y arasındaki eşleşme önemlidir.
   • : bu sütunu başlangıçta boş bırakın. X'teki veri noktalarının ortalamasını aldıktan sonra, doldurulacaktır.
   • : bu sütunu başlangıçta boş bırakın. Y'deki veri noktalarının ortalamasını aldıktan sonra, doldurulacaktır.
   • : bu son sütunu da boş bırakın. Çözüme ilerlerken formu dolduracaksınız.

3. 

   
   
   X noktasındaki veri noktalarının ortalamasını hesaplayın. Bu veri seti dokuz sayı içerir. Aralarındaki ortalamayı hesaplamak için onları toplayın ve 9'a bölün. Sonuç olarak, 1 + 3 + 2 + 5 + 8 + 7 + 12 + 2 + 4 = 44 elde edeceksiniz. Bu değeri 9'a böldüğümüzde ortalama 4,89 olacaktır. Bu, aşağıdaki hesaplamalarda x (med) olarak kullanılacak değerdir.

4. 

   
   
   Y cinsinden veri noktalarının ortalamasını hesaplayın. Benzer şekilde, y sütunu, x'teki değerlerle eşleşecek dokuz veri noktasından oluşacaktır. Bu değerlerin ortalamasını alın. Bu veri setinde 8 + 6 + 9 + 4 + 3 + 3 + 2 + 7 + 7 = 49 var. Aşağıdaki hesaplamalarda y (med) olarak kullanmak üzere ortalama 5,44 elde etmek için bu sonucu 9'a bölün.

5. 

   Değerlerini hesaplayın. X sütunundaki her öğe için sayı ve ortalama arasındaki farkı hesaplamanız gerekir. Bu problemde, x'teki her veri noktasından 4.89 çıkarmanız gerekir. Orijinal değer ortalamanın altındaysa, sonuç negatif olacaktır. Öte yandan, ortalamanın üzerindeyse, sonuç olumlu olacaktır. Negatif işaretlere dikkat edin.
   • Örneğin, x sütunundaki ilk veri noktaları 1'e eşittir. Sütunun ilk satırına girilecek değer 1-4,89 veya -3,89'a eşit olacaktır.
   • İşlemi her veri noktasıyla tekrarlayın. Bu nedenle, ikinci satır 3-4.89 veya -1.89'a eşit olacaktır. Üçüncü satır 2-4.89 veya -2.89'a eşit olacaktır. İşleme tüm veri noktaları ile devam edin. Bu durumda, sütundaki dokuz sayı -3.89, -1.89, -2.89, 0.11, 3.11, 2.11, 7.11, -2.89 ve -0.89'a eşit olacaktır. .

6. 

   Değerlerini hesaplayın. Bu sütunda, y'deki veri noktalarını ve y'deki değerlerin ortalamasını kullanarak benzer çıkarımlar yapacaksınız. Orijinal veri noktası ortalamanın altındaysa, sonuç negatif olacaktır. Öte yandan ortalamadan yüksekse, sonuç olumlu olacaktır. Negatif işaretlere dikkat edin.
   • İlk satırda hesaplama 8-5.44 veya 2.56 olacaktır.
   • İkinci satır 6-5.44 veya 0.56 olacaktır.
   • Veri listesinin sonuna kadar çıkarmaya devam edin. Bittiğinde, dokuz değer 2.56, 0.56, 3.56, -1.44, -2.44, -2.44, -3.44, 1.56 ve 1.56'ya eşit olacaktır.

7. 

   Her satırın ürünlerini hesaplayın. Ve 'deki önceki sütunlarda hesaplanan sayıları çarparak son sütundaki satırları dolduracaksınız. Her zaman satır satır çalışın, iki sayıyı karşılık gelen veri noktalarıyla çarpın. Her zaman gerekli olumsuz işaretlerin farkında olun.
   • İlk satırda, hesaplanan -3,89'a, değeri 2,56'ya eşit olacaktır. Her iki değerin çarpımı -3,89 * 2,56 = -9,96'dır.
   • İkinci satırda iki sayıyı çarpmalısınız: -1.88 * 0.56 = -1.06.
   • Veri kümesinin sonuna kadar satır satır çarpmaya devam edin. Bittiğinde, bu sütundaki dokuz değer -9.96, -1.06, -10.29, -0.16, -7.59, -5.15, -24.46, -4.51'e eşit olacaktır. ve -1.39.

8. 

   Son sütundaki değerlerin toplamını hesaplayın. Σ sembolünün devreye girdiği yer burasıdır. Şimdiye kadar gerekli tüm hesaplamaları yaptıktan sonra sonuçları eklemelisiniz. Örnekteki veri kümesiyle ilgili olarak, son sütunda dokuz değere sahip olacaksınız. Sonra onları ekleyin. Her sayının pozitif mi yoksa negatif mi olduğuna çok dikkat edin.
   • Bu veri setine göre, toplam -64,57'ye eşit olacaktır. Bu toplamı sütunun altındaki boşluğa yazın. Standart kovaryans formülündeki pay değerini temsil eder.

9. 

   Kovaryans formülünün paydasını hesaplayın. Standart formülün payı, az önce hesapladığınız sayı ile temsil edilir. Payda da (n-1) ile temsil edilir, yani veri setindeki çiftlerin sayısından bir birim az olan bir değer.
   • Bu örnekte, n 9'a eşit olacak şekilde dokuz veri çifti vardır. Bu nedenle, (n-1) değeri 8'e eşittir.

10. 

    Payı paydaya bölün. Kovaryansın hesaplanmasındaki son adım, payı paydaya bölmektir. Bölüm, verilerin kovaryansına eşit olacaktır.
    • Bu örnekte, hesaplama, -8.07'ye eşit olan -64.57 / 8 ile sonuçlanacaktır.

Yöntem 2/4: Kovaryansı Hesaplamak için Excel Elektronik Tablosu Kullanma

1. 

   Tekrarlayan hesaplamaları gözlemleyin. Kovaryans, sonucun ne anlama geldiğini anlamanız için bazen elle yapılması gereken bir hesaplamadır. Bununla birlikte, verileri yorumlamak için düzenli olarak kovaryans değerleri kullanmanız gerekiyorsa, sonuç almanın daha hızlı ve daha otomatik bir yolunu bulmak önemlidir. Bu noktada, dokuz çifte sahip nispeten küçük veri seti için, hesaplamaların iki ortalama bulmayı, 18 ayrı çıkarma yapmayı, dokuz ayrı çarpmayı, bir toplamı ve bir son bölmeyi içerdiğini fark edeceksiniz. Tek bir çözüme ulaşmak için 31 küçük hesaplama vardı. Yol boyunca, olumsuz işaretleri unutmak veya sonuçları yanlış kopyalamak, sonucu mahveder.

2. 

   Kovaryansı hesaplamak için bir elektronik tablo oluşturun. Excel'i (veya hesaplamalarla çalışabilen başka bir elektronik tablo programını) kullanmakta rahatsanız, kovaryansı hesaplamaya yarayan bir elektronik tablo oluşturmak kolaydır. Hesaplamalarda elle yapılanlara göre beş sütunun başlıklarını verin: x, y, (x (i) -x (med)), (y (i) -y (med)) ve Product.
   • Etiketlemeyi basitleştirmek için, verilerin ne anlama geldiğini hatırladığınız sürece, üçüncü sütuna "fark x" ve dördüncü sütuna "fark y" gibi bir ad verebilirsiniz.
   • Tabloyu elektronik tablonun sol üst köşesinden başlatırsanız, A1 hücresi x etiketini ve ardından E1'e ulaşana kadar diğerlerini temsil eder.

3. 

   Veri noktalarını girin. Veri değerlerini x ve y etiketli iki sütuna girin. Veri noktalarının sırasının önemli olduğunu unutmayın, her bir y değerini karşılık gelen x değeriyle eşleştirmenin önemlidir.
   • X değerleri A2 hücresinde başlayacak ve gerektiği kadar çok veri noktası içerecek şekilde aşağı doğru devam edecektir.
   • Y değerleri, B2 hücresinde başlayacak ve gerektiği kadar çok veri noktası içerecek şekilde aşağı doğru devam edecektir.

4. 

   X ve y cinsinden değerlerin ortalamasını hesaplayın. Excel ortalamaları çok hızlı bir şekilde hesaplayabilir. Her veri sütununun altındaki ilk boş hücreye = MED (A2: A ___) formülünü girin. Boşluğu, son veri noktasına karşılık gelen hücrenin konumu ile doldurun.
   • Örneğin, 100 veri noktanız varsa, A2 hücresinden A101 hücresine kadar olan boşluğu doldururlar. Bu durumda = MED (A2: A101) yazacaksınız.
   • Y değerleri için = MED (B2: B101) formülünü girin.
   • Formülü Excel'de bir = işaretiyle başlattığınızı unutmayın.

5. 

   (X (i) -x (med)) sütununun formülünü girin. C2 hücresinde, ilk çıkarmayı hesaplamak için formülü girmeniz gerekir. = A2 -___ olacaktır. Boş alan, x'deki değerlerin ortalamasını içeren hücrenin konumu ile doldurulmalıdır.
   • 100 veri noktası örneği için, ortalama A103 hücresindedir, dolayısıyla formül = A2-A103 olacaktır.

6. 

   Veri noktaları için formülü tekrarlayın (y (i) -y (med)). Aynı örneği takiben, D2 hücresinde olacaktır. Bu formül = B2-B103 olarak yazılacaktır.

7. 

   "Ürün" sütununun formülünü girin. Beşinci sütunda, E2 hücresine, önceki iki hücrenin ürününü hesaplamaktan sorumlu formülü koymanız gerekecektir. Bunu yapmak için = C2 * D2 yazmanız yeterlidir.

8. 

   Tabloyu doldurmak için formülleri kopyalayın. Şimdiye kadar, 2. sıradaki ilk veri çiftini programladınız. Fareyi kullanarak C2, D2 ve E2 hücrelerini seçin. Ardından, üzerinde bir artı işareti görünene kadar imleci sağ alt köşedeki küçük kutunun üzerine getirin. Fare düğmesine tıklayın ve basılı tutarak imleci aşağı doğru sürükleyin, vurgulanan hücreyi tüm tabloyu doldurana kadar genişletin. Bu adım, C2, D2 ve E2 hücrelerindeki üç formülü otomatik olarak tüm tabloya kopyalar. Ardından, tüm hesaplamalarla otomatik olarak doldurulduğunu göreceksiniz.

9. 

   Son sütunun toplamını programlayın. "Ürün" sütununda bulunan öğelerin toplamını bulmak önemlidir. Bu sütundaki son veri noktasının altındaki boş hücreye = SUM (E2: E ___) formülünü girin. Boşluğu, son veri noktasına karşılık gelen hücrenin konumu ile doldurun.
   • 100 veri noktası örneğinde, bu formül E103 hücresine gidecektir. Bu durumda = SUM (E2: E102) yazacaksınız.

10. 

    Kovaryansı bulun. Son hesaplamaları Excel'in yapmasını da sağlayabilirsiniz. Örneğimizdeki E103 hücresindeki son işlem, kovaryans formülünün payını temsil eder. Hemen altına = E103 / ___ formülünü girebilirsiniz. Boşluğu mevcut veri noktalarının sayısıyla doldurun. Örnekte bu değer 100'e eşittir. Sonuç, verilerinizin kovaryansını temsil edecektir.

Yöntem 3/4: Çevrimiçi Kovaryans Hesaplayıcılarını Kullanma

1. 

   İnternette kovaryans hesaplayıcıları arayın. Çeşitli okullar, programlama şirketleri veya diğer kurumlar, veri değerleri arasındaki kovaryansı hesaplayabilen sayfalar oluşturmuştur. Bunları bulmak için çevrimiçi bir arama motoruna "kovaryans hesaplayıcı" terimlerini girin.

2. 

   Verileri girin. Verileri doğru girmek için sayfadaki talimatları dikkatlice okuyun. Çiftlerin iyi sıralanması önemlidir, yoksa yanlış kovaryans sonuçları alırsınız. Veri girmek için farklı sayfaların farklı stilleri vardır.
   • Örneğin, http://ncalculators.com/statistics/covariance-calculator.htm (İngilizcede), x'e değer girmek için yatay bir kutu ve y'ye değer girmek için ikinci bir yatay kutu vardır. Yalnızca virgülle ayrılmış terimler girmelisiniz. Böylece daha önce hesaplanan x'deki veri seti 1,3,2,5,8,7,12,2,4 olarak girilmiş olur. Benzer şekilde, y'deki veri seti 8,6,9,4,3,3,2,7,7 olarak girilecektir.
   • Başka bir sayfada, https://www.thecalculator.co/math/Covariance-Calculator-705.html (İngilizcede), ilk kutuya x ekseni için verileri girmelisiniz. Her satırda bir öğe olacak şekilde dikey olarak eklenecekler. Bu nedenle, bu sayfadaki ekleme aşağıdaki gibi olacaktır:
   • 1
   • 3
   • 2
   • 5
   • 8
   • 7
   • 12
   • 2
   • 4

3. 

   Sonuçları hesaplayın. Bu çevrimiçi hesap makinelerinin avantajı, verileri girdikten sonra, "Hesapla" yazan düğmeye tıklamanız ve sonuçların otomatik olarak görünmesidir. Çoğu sayfa zaten x (med), y (med) ve n değişkenleri için ara hesaplamaları göstermektedir.

Yöntem 4/4: Kovaryans sonuçlarını yorumlama

1. 

   Olumlu veya olumsuz bir ilişki arayın. Kovaryans, iki veri kümesinin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu temsil eden benzersiz bir istatistiksel değerdir. Girişte bahsedilen örnekte boy ve kilo ölçülmektedir. İnsanlar büyüdükçe boylarının artması ve pozitif bir kovaryansla sonuçlanması beklenir. Başka bir örnekte, değerlerin bir kişinin golf yaptığı saat sayısı ve o kişinin kazanabileceği puan için toplandığını varsayalım. Bu durumda, saat sayısı arttıkça golf puanının düşeceğini (golfte puan ne kadar düşükse o kadar iyi) gösteren negatif bir kovaryans olacaktır.
   • Yukarıda hesaplanan veri kümesine bakın. Ortaya çıkan kovaryans -8.07 olacaktır. Buradaki eksi işareti, x'teki değerler arttıkça, y'deki değerlerin azalma eğiliminde olduğunu gösterir. Aslında, bu doğruluk bazı değerlere bakılarak doğrulanabilir. Örneğin, x 1 ve 2'deki değerler y 7, 8 ve 9'daki değerlere karşılık gelir. X 8 ve 12'deki değerler sırasıyla y 3 ve 2'deki değerlerle eşleştirilecektir.

2. 

   Kovaryansın büyüklüğünü yorumlayın. Kovaryans değeri yüksekse, ister pozitif ister negatif olsun, bunu iki veri öğesinin pozitif veya negatif bir şekilde güçlü bir şekilde bağlantılı olduğunu gösterecek şekilde yorumlayabilirsiniz.
   • Örnek veri setinde -8.07 kovaryansı oldukça yüksektir. Veri değerlerinin 1 ile 12 arasında değiştiğine dikkat edin, bu nedenle 8 oldukça yüksek bir sayıdır. Bu, x ve y'deki veri kümeleri arasında güçlü bir bağlantı olduğunu gösterir.

3. 

   Olası bir ilişki eksikliğini anlayın. 0'a eşit veya çok yakın bir kovaryans gözlemlerseniz, veri noktalarının ilgisiz olabileceği sonucuna varmak mümkündür. Bu nedenle, bir değerdeki artış diğerinde bir artışa yol açabilir veya etmeyebilir. İki terim neredeyse rastgele birbirine bağlıdır.
   • Örneğin, ayakkabı bedenlerini üniversite notlarıyla karşılaştırdığınızı varsayalım. Üniversite notlarını etkileyen birkaç faktör olduğundan, 0'a yakın bir kovaryans beklemek doğaldır. Bu, iki değer arasında pratikte hiçbir bağlantı olmadığını gösterir.

4. 

   İlişkiyi grafiksel olarak görselleştirin. Kovaryansı görsel olarak anlamak için, veri noktalarını Kartezyen düzlemine ekleyebilirsiniz. Daha sonra, noktaların, tam olarak düz bir çizgi izlemese de, sol üst köşeden sağ alt köşeye doğru çapraz bir çizgiye yaklaşan bir grup oluşturma eğiliminde olduklarını görmek kolay olacaktır. Bu, negatif bir kovaryansın tanımıdır. Ayrıca, son kovaryans değerinin -8.07 olduğuna ve veri noktalarına kıyasla nispeten yüksek bir sayı olduğuna dikkat edin. Yüksek değer, kovaryansın güçlü olduğunu gösterir ve bu, veri noktalarının doğrusal görünümünden görülebilir.
   • Kartezyen düzlemde nokta yerleştirme yöntemlerini gözden geçirmek için "Kartezyen Düzlemde Noktalar Nasıl Temsil Edilir’.

İpuçları

• Kovaryansın istatistiklerde kullanımı sınırlıdır. Genellikle korelasyon katsayılarını veya diğer terimleri hesaplamaya yönelik bir adımdır. Kovaryans değerine dayalı cesur yorumlar yaparken dikkatli olun.