İçerik

• Adımlar
• İpuçları
• Uyarılar

Hesap makinesi gelmeden önce hem öğrencilerin hem de öğretmenlerin karekökleri elle hesaplamaları gerekiyordu. Bu ürkütücü süreçle daha iyi başa çıkmak için birkaç yöntem geliştirildi, bazıları tahminler ve diğerleri daha doğru bir değer getiriyor. Basit işlemleri kullanarak elle bir karekök hesaplamayı öğrenmek için, Aşama 1 başlamak.

Adımlar

Yöntem 1/2: Asal çarpanlara ayırma kullanma

1. 

   Sayıyı tam kare çarpanlara bölün. Bu yöntem, bir karekök hesaplamak için bir sayının faktörlerini kullanır (değere bağlı olarak, doğru veya tahmini bir cevap olabilir). Sen faktörler Bir sayı, onu elde etmek için çoğalan herhangi bir dizi diğeridir. Örneğin, faktörlerin ne olduğunu ve neden olduğunu söyleyebilirsiniz. Öte yandan, mükemmel kareler, diğer tam sayılar arasındaki çarpımdan kaynaklanan tam sayılardır. Örneğin değerler ve, mükemmel karelerdir çünkü sırasıyla, ve ile temsil edilebilirler. Tam kare çarpanlar, tahmin edebileceğiniz gibi, aynı zamanda tam karelerdir. Asal çarpanlara ayırma yoluyla karekökü bulmaya başlamak için, değerleri tam kare çarpanlarınıza indirin.
   • Bir örnekte, elin karekökünü hesaplamanız gerekecek. Başlamak için, değeri tam kare çarpanlarınıza bölün. Bir katı olduğu için, tam bir kare ile bölünebileceği hala bilinmektedir. Hızlı bir zihinsel bölünme, sayıdaki zamanlara uyduğunu görmenizi sağlayacaktır, bu da tesadüfen aynı zamanda tam bir karedir. Bu nedenle, tam kare çarpanlar olacaktır ve neden.
   • Egzersizin ilk aşaması şu şekilde yazılacaktır:

2. 

   
   
   Tam kare çarpanların kareköklerini hesaplayın. Karekök ürününün özelliği, herhangi bir değer ve veri için bunu belirtir. Bu nedenle, cevaba ulaşmak için faktörlerin kareköklerini çıkarmak ve çarpmak artık mümkün.
   • Söz konusu örnekte, karekökleri aşağıdaki gibi çıkarılacaktır:

3. 

   
   
   Mükemmel bir şekilde çarpanlarına ayırmak mümkün değilse, ortaya çıkan değeri en basit terimlerine indirin. Pratikte, sayıların aynı zamanda mükemmel kareler olan faktörlerle (gibi) mükemmel ve kesin olma olasılığı düşüktür. Bu gibi durumlarda tam bir cevap bulmak mümkün olmayabilir. Bunun yerine, tam kareler olabilecek faktörleri belirleyerek, cevabı daha küçük, daha basit ve çalışması daha kolay bir karekök temelinde hesaplayabilirsiniz. Sadece sayıyı mükemmel kareler olan faktörlerin diğerleriyle olmayan kombinasyonuna indirgeyin. Ardından sonucu basitleştirin.
   • Örnek olarak karekökünün kullanıldığını varsayalım. Bu sayı iki tam karenin çarpımı değildir, bu nedenle önceki durumda olduğu gibi bir tam sayı değerine ulaşmak mümkün değildir. Ancak, tam bir kare ile başka bir sayı arasındaki çarpımdır - e. Bu veriler, aşağıdaki gibi, en basit terimlerle cevap aramayı ilerletmek için kullanılacaktır:

4. 

   
   
   Gerekirse tahminler yapın. Karekök en basit haliyle, kalan kareköklerin değerini şart koşarak ve uygun değerleri çarparak sayısal bir cevabı tahmin etmek daha basittir. Bu tahminlerde kendinize rehberlik etmenin bir yolu, karekökteki sayının yanında tam kareleri bulmaktır. Bu sayının ondalık basamağının bu iki değer arasında olacağını bileceksiniz ve bu nedenle aralarında olanı şart koşmanız daha kolay olacaktır.
   • Örneğe dönersek ve e olarak, bunun e - arasında ve muhtemelen daha büyük sayıya daha yakın olduğunu görebilirsiniz. Tahmin ederken bunu bulacaksınız. İşlemi bir hesap makinesi yardımıyla kontrol edin ve doğru cevaba () çok yaklaştığınızı göreceksiniz.
     • Bu aynı zamanda daha büyük sayılarda da işe yarar. Örneğin, ve (muhtemelen daha büyük sayıya daha yakın) arasında olduğunu tahmin etmek mümkündür. Eğer e ve her iki değer arasındaysa, büyük olasılıkla karekökü de ve arasındadır. Küçük bir adım ötede olduğunu hesaba katarsak, karekökünüzün yakında değerin altında. Hesaplamayı bir hesap makinesinde yaparken sonuca ulaşırsınız - varsayım doğruydu.

5. 

   İlk önce, sayıyı kendi ortak çoklu minimumlar. Bir sayının asal çarpanlarını (yani aynı zamanda asal sayıları) belirleyebiliyorsanız, tam kare olan çarpanları bulmanız gerekmez. Söz konusu değeri minimum ortak katlara göre yazın. Ardından, birbiriyle eşleşen asal sayı çiftlerini arayın. Bu gereksinimleri karşılayan iki seçenek bulduğunuzda, bunları karekökten çıkarın ve a onların dışında.
   • Örnek olarak, bu yöntemle 'nin karekökünü bulmaya çalışın. Şu ve bu biliniyor. Bu nedenle, karekökü faktörleri cinsinden yazmak mümkündür: En basit terimlere ulaşmak için mevcut ikisini kökün içine alın ve birini dışarıya yerleştirin: Buradan tahmin etmek kolaydır.
   • Son bir örnek olarak, şunun karekökünü hesaplamaya çalışın:
     • 
       Burada karekök içinde birkaç değer vardır - asal sayı olduğu için, çiftlerden birini alın ve birimlerden birini dışarıya yerleştirin.
     • Sonuç olarak, karekök en basit terimleriyle veya olacaktır. Buradan dilerseniz değerlerini tahmin edebilirsiniz.

Yöntem 2/2: Karekökleri Manuel Olarak Hesaplama

1. 

   İlk olarak, boşlukları sayıdan çiftler halinde ayırın. Bu yöntem, karekökü hesaplamak için uzun bölmeye benzer bir işlem kullanır. tam, her seferinde bir ev. Çok önemli olmasa da, görsel olarak organize edildiğinde ve sayı parçalara bölündüğünde sürecin daha kolay olduğunu görebilirsiniz. Yapılması gereken ilk şey, çalışma alanını iki bölgeye ayıran dikey bir çizgi çizmek, ardından üstte küçük bir bölüm ve altta büyük bir bölüm elde etmek için sağ üste yakın daha küçük bir yatay çizgi yapmaktır. Şimdi, virgülle başlayan çiftler halinde boşlukları sayıdan ayırın: örneğin bu kuralı izleyerek olur. Değeri sol boşluğun üstüne yazın.
   • Bir örnekte, karekökünü hesaplamaya çalışın. Çalışma alanını önceki durumda olduğu gibi bölmek için iki satır yapın ve sol boşluğun üst kısmına yazın ve solda bir çift yerine yalnızca tek bir sayı varsa endişelenmeyin. Sağ üst bölgeye cevabı () yazmalısınız.

2. 

   Karesi soldaki sayıdan (veya sayı çiftinden) küçük veya ona eşit olan en büyük tamsayının hangisi olduğunu bulun. İster çift ister izole bir değer olsun, numaranızın en soldaki kısmıyla başlayın. Hangisinin bu sayıdan küçük veya ona eşit olan en büyük tam kare olduğunu belirleyin ve karekökünü alın: bu değer ile temsil edilir. Bunu sağ üst boşluğa yazın ve karenizi sağ alt çeyreğe yazın.
   • Örnekte, en soldaki kısım sayıdır. Bilindiği gibi karesi küçük veya ona eşit olan en büyük tam sayı değeri olduğu için bunu söylemek mümkündür. Üst çeyreğe yazın - bu, sonucun ilk karesi olacaktır. Sonra sağ alt çeyreğe (kare) yazın - bu değer bir sonraki adım için önemli olacaktır.

3. 

   Çıkar soldaki yeni hesaplanan çift numarası. Uzun bölmede olduğu gibi, bir sonraki adım, bulunan kareyi henüz çalışılan kısımdan çıkarmaktır. Bu değeri ilk kısmın altına yazın ve aşağıdaki cevabı yazarak uygun çıkarma işlemini yapın.
   • Örnekte, çıkarma işlemini gerçekleştirmek için biri birin altına yerleştirilecektir. Buradaki cevap eşit olacaktır.

4. 

   Bir sonraki çifte gidin. Çalışma numarasının sonraki kısmını aşağıya ve az önce bulduğunuz çıkarılmış değerin yanına taşıyın. Sonra sağ üstteki değeri ile çarpın ve cevabı sağ alt çeyreğe yazın. Şimdi bir sonraki adımda çarpma problemi için bir boşluk ayırın:
   • Örnekte, bir sonraki çift mevcut. sol alt çeyreğe yakın bir yerden bakın. Sonra değeri ile çarpın ve elde edin, öyle ki. Sağ alt köşeye ve ardından yazın.

5. 

   Sağ kadranda boşlukları doldurun. Artık her biri aynı tam sayıya sahip olacak. Sağdaki çarpma sonucunun şu anda solda bulunan sayıdan küçük veya ona eşit olmasına izin veren en büyüğü olmalıdır.
   • Örnekte, boşlukları sonuçla doldurmak: Bu, değerinden daha büyük bir değerdir. Bu şekilde çok büyük, ama muhtemelen işe yarar. Boşluklara yazın ve devam edin :. İhtiyacı karşıladığı teyit edilir çünkü daha sonra sağ üst kadrana sayıyı yazın.Bu, karekökündeki ikinci karedir.

6. 

   Hesaplanan değeri şimdi soldaki sayıdan çıkarın. Uzun bölme ile aynı tarzda çıkarmaya devam edin. Sağ çeyrekte çarpma probleminin sonucunu alın ve şimdi sol tarafta bulunan değerden çıkarın, cevabınızı hemen aşağıya yerleştirin.
   • Örnekte, sonuçtan çıkarılacak.

7. 

   4. adımı tekrarlayın. Karekökü hesaplanmakta olan sayının bir sonraki bölümüne ilerleyin. Virgül'e ulaştığınızda, sağ üst kadranda cevaba bir ondalık sayı yazın. Ardından, sağ üstteki değeri ile çarpın ve işlemi daha önce olduğu gibi beyaz () ile yazın.
   • Örnekte, virgül şu anda ulaşılırken, sağ üstte bulunan geçerli cevabın hemen arkasına yazın. Ardından sol çeyrekte bir sonraki çifti () aşağıya hareket ettirin. Sağ üstteki değerle çarparak (), sağ alt çeyreğe yazarsınız.

8. 

   5. ve 6. adımları tekrarlayın. Şu anda soldaki sayıdan daha küçük veya ona eşit bir sonuç veren sağdaki boşlukları doldurabilen en büyük ondalık değeri bulun. O zaman soruna geç.
   • Soldaki sayıdan küçük veya ona eşit olan örnekte (). Çok yüksek olan bunu gözlemleyerek, aradığınız cevabın bu olduğu sonucuna varıyorsunuz. Bunu sağ üst kadranda sonraki ondalık basamak olarak yazın ve soldaki sayıyı çarpmanın sonucunu çıkarın:

9. 

   Ondalık basamakları hesaplamaya devam edin. Sola bir çift sıfır bırakın ve Adım 4, 5 ve 6. Daha da fazla kesinlik için, cevabınızda yüzde, binde biri vb. Bulana kadar işlemi tekrarlamaya devam edin. İstediğiniz ondalık basamakta sonuca ulaşana kadar bu döngüye devam edin.

Süreci anlamak

1. 

   Karekökü hesaplanacak sayıyı bir karenin alanı olarak tanımlayın. Bu alan, kenarlarından birinin uzunluğunu temsil eden bir formüle sahip olduğundan, değerinin karekökünü bulmaya çalışırken, söz konusu karenin uzunluğunu hesaplamaya çalışıyorsunuz.

2. 

   Cevabınızdaki her ondalık basamak için değişkenleri belirtin. Değişkeni ilk ondalık basamağa (hesaplanan karekök), ikinci, üçüncü olacak şekilde vb. Ayarlayın.

3. 

   Başlangıç ​​numarasının her bir kısmına alfabetik değişkenler atayın. Değişkeni ilk ondalık basamak çiftiyle (başlangıç ​​değeri), ikinci ondalık basamak çifti vb. İle ilişkilendirin.

4. 

   Bu yöntemin uzun bölünmeyle olan bağlantısını anlayın. Karekökü bu şekilde hesaplamanın yolu, temelde, başlangıç ​​numarasını kareköküne bölen uzun bir bölme problemidir. verme yanıt olarak karekökü. İlginin her seferinde bir ondalık basamağa yönlendirildiği uzun bölme problemlerinde olduğu gibi, burada da aynı anda ikiye odaklanmalısınız (bir sonraki karekök ondalık basamağına karşılık gelir).

5. 

   Karesi küçük veya ona eşit olan en büyük sayıyı bulun. Yanıttaki ilk ondalık basamak, karesi geçmeyen en büyük tamsayıyı temsil eder (bu yüzden). Örnekte ve öyle ki.
   • Bir örnekte, uzun bölme yöntemini kullanarak bölmek istiyorsanız, ilk adım benzer olacaktır: ilk basamağı () aramalı ve ile çarpıldığında, veya daha küçük bir şeyle sonuçlanacak en büyük tamsayıyı bulmalısınız. eşittir. Temel olarak, o yolu bulmakla ilgilidir. Bu durumda eşit olacaktır.

6. 

   Alanını hesaplamak istediğiniz kareyi görselleştirin. Başlangıç ​​sayısının karekökü olan cevap, bir alan karesinin uzunluğunu (başlangıç ​​numarası) tanımlayan ile temsil edilecektir. Değerleri ve içinde bulunan ondalık basamakları temsil eder. Bu tanımı koymanın başka bir yolu, iki ondalık basamaklı bir yanıt durumunda, üç ondalık basamaklı bir yanıt durumunda vb. Olduğunu belirtmektir.
   • Örnekte. Unutmayın ki cevabı birimler ve onlarca temsil eder. Örnek olarak alarak sayı ile sonuçlanacaktır. Karenin alanını temsil ediyorsa, en büyük iç karenin alanını temsil eder, en küçük iç karenin alanını temsil eder ve kalan dikdörtgenlerin her birinin alanını temsil eder. Bu uzun ve karmaşık işlemi gerçekleştirirken, sadece içerideki kareler ve dikdörtgenlerden hesaplanan alanları ekleyerek, tüm kare alanı elinizin altında olacak.

7. 

   Çıkarın. Bir çift () ondalık basamak bırakın. İfade, en büyük iç karenin çıkarıldığı karenin neredeyse tüm alanını temsil eder. Gerisi, sırayla, elde edilenle temsil edilebilir 4. adım (yukarıdaki örnekte). Burada, (her iki dikdörtgenin alanı artı en küçük karenin alanı).

8. 

   Bakın, olarak da yazılır. Örnekte, () ve () 'yi zaten biliyorsunuz ve şimdi değerini hesaplamak gerekiyor. Muhtemelen bir tamsayı değeri olmayacaktır, bu yüzden şunu yapmanız gerekir: Gerçekten mi koşulu karşılayan en büyük olasılığı hesaplayın. Sonunda yanınızda kalacaksınız.

9. 

   İşlemi çözün. Devam etmek için, çarpın, onların konumunu değiştirin (değerin ile çarpılmasına eşdeğer), birimlerin konumuna koyun ve sonucu ile çarpın. Başka bir deyişle, sadece işlemi gerçekleştirin. Sağ alt çeyrekte yazarken (varoluş) aynıdır. 4. adım. Zaten içinde Adım 5sırayla, boş alana sığacak en büyük tamsayı değerini bulacaksınız.

10. 

    Alanı toplam alandan çıkarın. Bu, şimdiye kadar göz ardı edilen (ve sonraki kareleri benzer şekilde hesaplamak için kullanılacak) alanla sonuçlanır.

11. 

    Sonraki ondalık basamağı hesaplamak için işlemi tekrarlamanız yeterlidir. Sola gitmek ve koşulu karşılayan en yüksek değeri aramak için bir sonraki çifte () aşağı kaydırın (iki ondalık basamakla birlikte değerin iki katı yazmaya eşdeğerdir. Boşluklarda mümkün olan en yüksek ondalık değeri arayın. daha önce olduğu gibi daha az veya ona eşit bir sonuç getirir.

İpuçları

• Bu yöntem herhangi bir tabanda çalışır - sadece (ondalık) tabanda değil.
• Örnekte, bir "dinlenme" düşünülebilir:
  
• Sürekli kesirler kullanan alternatif bir yöntem şu formülü izler:
  
  Bir örnekte, karekökünü hesaplamak için, karesi başlangıç ​​sayısıyla en yakından eşleşen tamsayı, e. Formüle değerleri girip tahmini yuvarlarken, sonucu (minimum değerler) veya yaklaşık olarak () getirir. Bir sonraki terim, veya yaklaşık olarak () olacaktır. Her ek terim, önceki girişime göre neredeyse üç ondalık kesinlik basamağı ekler.

Uyarılar

• Ondalık basamakları çiftler halinde virgülden ayırmayı unutmayın. Örneğin, nasıl işe yaramaz sonuçlar getireceğine dair bir ayrım.