İçerik

• adımlar
• İpuçları

Matematik konusunda zorluk çekenler için, karekök sembolünü görmek titremeye neden olabilir. Bununla birlikte, bu operatörü ilgilendiren sorunlar göründükleri kadar zor değildir. Bazen basit karekök problemleri, basit bir çarpma veya bölme kadar kolay olabilir. Öte yandan, daha karmaşık sorunlar daha çok iş olabilir. Yine de doğru yaklaşımla hepsi kolay görünecek. Şimdi karekök problemlerini uygulamaya başlayın ve bu yeni matematik becerisini öğrenin radikal!

adımlar

Bölüm 1/3: Karekök ve karekök kavramını anlayın

1. 

   Karekökleri anlamadan önce, ilk olarak bir sayının karesinin ne olduğunu anlayın. Anlaması kolay. Bir sayının karesini almak için, onu kendisiyle çarpmanız yeterlidir. Örneğin, 3'ün karesi, 3 × 3 = 9 ile aynıdır ve 9'un karesi, 9 × 9 = 81 ile aynıdır. Kareler, yükseltilecek sayının sağ üst tarafında küçük bir "2" ile gösterilir, şunun gibi: 3, 9, 100 vb.
   • Kavramı uygulamak için birkaç sayının daha karesini almaya çalışın. Unutmayın, bir sayının karesini almak onu basitçe kendisiyle çarpmaktır. Bunu negatif sayılarla bile yapabilirsiniz, ancak bu durumda cevabın her zaman olumlu olacağını unutmayın. Örneğin, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Karekökü bulmak için, kuvvetlendirmenin "tersini" bulun. Kök sembolü (√, "radikal" olarak da adlandırılır) temelde sembolün "zıttı" anlamına gelir. Bir radikal gördüğünüzde, kendinize sorun, "Sonuç, radikal içindeki sayı olsun, kendisiyle hangi sayıyı çarpabilirim?" Örneğin, √ (9) gördüğünüzde, karesi olan sayıyı bulmaya çalışın, 9'a eşittir. Bu durumda cevap üççünkü 3 = 9.
   • Başka bir örnek: 25'in (√ (25)) karekökünü bulalım. Bu, karesi 25'e eşit olan sayıyı bulmamız gerektiği anlamına gelir. 5 = 5 × 5 = 25 olduğundan, √ (25) = olduğunu söyleyebiliriz. 5.
   • Bu işlemi bir kare yüksekliği "geri almanın" bir yolu olarak da düşünebilirsiniz. Örneğin, 64'ün karekökü olan √ (64) 'ü bulmamız gerekirse, 64'ü 8 olarak düşünmeliyiz. Karekök temelde bir yüksekliğin karesini "iptal ettiğinden", √ (64) = √ (8) = diyebiliriz. 8.

3. 

   
   
   Tam kare sayılarla kusurlu kare sayılar arasındaki farkı anlayın. Şimdiye kadar, karekök problemlerimizin cevapları tam sayılardı. Her zaman olmayacak. Aslında, bir radyasyon işleminin sonucu bazen uzun, karmaşık ondalık sayılarla sonuçlanabilir. Bir sayının kökü bir tamsayı ise, yani bir kesir veya ondalık değilse, çağrılacaktır mükemmel kare. Yukarıda gösterilen tüm örnekler (9, 25 ve 64) mükemmel karelerdir çünkü kökleri tam sayıdır (sırasıyla 3, 5 ve 8).
   • Öte yandan, kökleri tam olmayan sayılara kusurlu kareler. Bu sayılardan birinin kökünü hesaplarken, genellikle kesir veya ondalık sayı olacak bir sonuç elde edeceğiz. Bazen, ilgili ondalık sayılar oldukça karmaşık olabilir, örnekte olduğu gibi: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   En az ilk 12 mükemmel kareyi ezberleyin. Gösterdiğimiz gibi, bir sayının karekökünü hesaplamak çok kolay olabilir! Bu nedenle, ilk düzine mükemmel karenin kareköklerini ezberlemek için zaman ayırmak önemlidir. Testlerde çok fazla görünme eğilimindedirler, bu yüzden onları ezberlemek size çok zaman kazandırabilir. İlk 12 mükemmel kare:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Mümkün olduğunda, mükemmel kareleri kaldırarak kökleri basitleştirin. Kusurlu karelerin karekökünü bulmak, özellikle hesap makinesi yoksa oldukça zor olabilir (aşağıdaki bölümlerde, işlemi basitleştirmek için püf noktaları öğreneceksiniz). Bununla birlikte, hesaplamaları kolaylaştırmak için bazen kök içindeki sayıları basitleştirmek mümkündür. Sadece kökün içindeki sayıyı faktörlere bölün, ardından tam kareler olan faktörlerin kökünü hesaplayın ve cevabı radikalin dışına yazın. Bu göründüğünden daha kolay. Daha iyi anlamak için aşağıya bakın!
   • Diyelim ki 900'ün kökünü bulmanız gerekiyor. Başlangıçta oldukça zor bir görev gibi görünüyor! 900'ü faktörlere bölersek her şey çok daha kolay. Bir "x" sayısının çarpanları, çarpılırsa "x" ile sonuçlanan bir sayılar kümesidir. Örneğin, 1 × 6 ile 2 × 3'ü çarparak 6 elde edebiliriz, yani 6'nın çarpanları 1, 2, 3 ve 6'dır.
   • Biraz garip olabilen 900 ile çalışmak yerine 9 × 100 olarak yazalım. Şimdi tam kare olan 9, 100'den ayrıldığı için karekökünü hesaplayabiliriz. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Yani, √ (900) = 3√(100).
   • Yine de 100'ü 25 ve 4 faktörlerine bölerek iki kez daha sadeleştirebiliriz. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Yani, diyebiliriz ki √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Negatif sayıların kökünü hesaplamak için hayali sayıları kullanın. Kendinize sorun, kendisiyle çarpılan sayı -16 ile sonuçlanır? 4 veya -4 değil, çünkü bu iki sayının karesi 16'dır. Vazgeçmeli miyiz? Aslında, -16'nın karekökünü veya herhangi bir negatif sayıyı yalnızca gerçek sayıları kullanarak yazmanın bir yolu yoktur. Bu gibi durumlarda, negatif bir sayının karekökünü değiştirmek için hayali sayılar (genellikle harfler veya semboller şeklinde) kullanmalıyız. Örneğin "i" değişkeni, -1'in karekökünü belirtmek için kullanılır. Genel bir kural olarak, negatif bir sayının kökü her zaman sanal bir sayı olacaktır (veya en azından içerecektir).
   • Unutmayın, hayali sayılar gerçek sayılarla temsil edilemese de, yine de bazı şekillerde bu şekilde ele alınabilirler. Örneğin, negatif bir “-x” sayısının kökü, karesi alınmışsa, aynı diğer kökler gibi “-x” ile sonuçlanır. Yani, i = -1

Kısım 2/3: Uzun Bölme Benzeri Yöntemleri Kullanma

1. 

   Karekök problemini uzun bir bölümmüş gibi ele alın. Biraz zahmetli olmasına rağmen, karmaşık kusurlu kare sayıların karekökünü hesap makinesi kullanmadan bulabilirsiniz. Yöntem (veya algoritma) uzun bölme yöntemine benzer (ancak aynı değildir). Uzun bölme, bölmeleri elle hesaplamak için kullanılan geleneksel yöntemdir.
   • Uzun bölünme ile benzer olacak olan problemin ilk konumlandırmasıyla başlayın. Örneğin, 6.45'in kökünü bulmanız gerektiğini varsayalım ki bu kesinlikle tam bir kare değildir. Önce bir karekök sembolü (√) yazıyoruz ve sonra sayımızı onun içine koyuyoruz. Daha sonra, symbol sembolünden tam sayıyı örtünceye kadar bir çizgi yapmalı ve uzun bölme bölücünün olduğu kutuya benzer bir kutu içinde bırakmalıyız. Aradaki fark, burada, yanıtın geleneksel bölümlemede olduğu gibi, aşağıda değil, bu kutunun üzerinde olmasıdır. Bitirdiğimizde, 6.45 sayısının tamamını kapsayan uzun bir "√" işaretine sahip olacağız.
   • Bu kutuya sayılar yazalım, bu yüzden boşluk bırakın.

2. 

   Rakamları çiftler halinde gruplayın. Sorunu çözmeye başlamak için, sayıların rakamlarını kök içindeki ondalık noktadan başlayarak çiftler halinde gruplayın. Çiftleri ayırmak için küçük işaretler (nokta, çubuk, virgül vb. Gibi) yapabilirsiniz.
   • Örneğimizde, 6.45'i aşağıdaki gibi üç çifte bölmeliyiz: 6-,45-00. Sol tarafta bir tane eksik rakam olduğunu görün, bunda bir sorun yok.

3. 

   Karesi ilk "grup" değerine eşit veya bundan küçük olan en büyük sayıyı bulun. Sol taraftaki ilk sayı çiftiyle başlayın. Karesi "grup" dan küçük veya ona eşit olan en büyük sayıyı seçin. Örneğin, grup 37 ise 6'yı seçin, çünkü 6 = 36 <37 ama 7 = 49> 37. Bu sayıyı birinci grubun üzerine yazın. Bu, cevabın ilk rakamıdır.
   • Örneğimizde 6-, 45-00'deki ilk grup 6'dır. Karesi 6'dan küçük veya 6'ya eşit olan ilk en büyük sayı 2, çünkü 2 = 4. Kök içindeki 6'nın üzerine "2" yazın.

4. 

   Cevabın ilk rakamına (az önce bulduğumuz sayı) bakın ve onu ikiyle çarpın. Şimdi sonucu birinci grubun altına yazın ve farkı bulmak için bir çıkarma yapın. Ardından, sonraki sayı çiftini aşağı kaydırın ve onları az önce bulduğumuz farka ekleyin. Son olarak, son rakamı sol tarafa cevabın ilk rakamının iki katı olarak yazın ve yanında bir boşluk bırakın.
   • Örneğimizde ilk adım, cevabın ilk rakamı olan 2'nin çiftini bulmak olacaktır. 2 × 2 = 4. O halde, 6'dan 4'ü çıkarmalıyız (ilk "grubumuz") ve yanıt olarak 2'yi elde etmeliyiz. Şimdi 245'i elde etmek için bir sonraki gruba (45) gitmemiz gerekiyor. Son olarak, sol tarafa tekrar 4 yazıyoruz, sağ tarafta da şu şekilde küçük bir boşluk bırakıyoruz: 4_.

5. 

   Boşluğu doldur. Şimdi, sol tarafa yazdığımız sayının yanındaki boşluk yerine bir rakam koymamız gerekiyor. Soldaki sayı ile çarpıldığında, kendisi tarafından değiştirilen boş alanla çarpıldığında maksimum bir değere sahip, ancak sağ taraftaki sayıdan daha küçük olan rakamı seçin. Bu biraz karmaşık görünebilir, bu yüzden anlamak için bazı örneklere bakalım. Aşağı giden sayı, yani sağ taraftaki sayı 1700 ve sağdaki sayı 40_ ise, boşluğu 4 sayısıyla doldururuz çünkü 404 × 4 = 1616 <1700 ve 405 × 5 = 2025 Bu adımda bulunan sayı, cevabın ikinci basamağı olacaktır, böylece onu gövde sembolünün üzerine ekleyebilirsiniz.
   • Örneğimizde, 4_ × _ içindeki boş alanı dolduracak sayıyı bulmamız gerekiyor ki bu, cevabı olabildiğince büyük, ancak 245'ten küçük veya ona eşit yapar. Bizim durumumuzda cevap şudur: 5çünkü 45 × 5 = 225 ve 46 × 6 = 276.

6. 

   Cevabı oluşturmak için boşlukları dolduran sayıları kullanmaya devam edin. Bu değiştirilmiş uzun bölme yöntemine, radikalden inen sayıyı çıkararak sıfırlar elde etmeye başlayana kadar veya istenen hassasiyet düzeyine ulaşana kadar devam edin. Bittiğinde, her adımda boşlukları doldurmak için kullanılan numaralar (ve tabii ki kullandığımız ilk numara) cevap rakamlarını oluşturacaktır.
   • Örneğimize devam edersek, 20'yi elde etmek için 245'ten 225 çıkarırdık. Sonra, 2000'i elde etmek için 00 basamak çiftini aşağı indiririz. Radikalin üzerindeki sayıları ikiye katlayarak, 25 × 2 = 50 elde ederiz. Boşluk sayısını 50_ × olarak ayarlayarak _ = / <2.000, alıyoruz 3. Bu noktada, radikal hakkında "253" var. İşlemi tekrar tekrarlayarak, bir sonraki rakam olarak 9 elde ederiz.

7. 

   Virgülü cevapta doğru konuma yerleştirin. Cevabı bitirmek için hala ondalık noktayı doğru yere koymamız gerekiyor. Bu kısım kolaydır: cevabın içindeki virgülü, radikalin içindeki sayıdaki virgülle aynı konuma koyun. Örneğin, radikalin içindeki sayı 49,8 ise, virgül cevabına aşağıdaki karşılık gelen yere, yani 9 ve 8'in üzerindeki iki sayı arasına koyun.
   • Örneğimizde, radikal içindeki sayı 6.45'tir. Cevabı almak için, cevabı almak için 6 ve 4'ün üzerindeki sayıların arasına virgül koyun, bu durumda sırasıyla 2 ve 5'dir: 2,539.

Bölüm 3/3: Kusurlu Kareleri Hızla Tahmin Etme

1. 

   Cevabı bir tahminde bulunarak bulun. Bazı mükemmel karelerin kökünü öğrendikten sonra, kusurlu karelerin kökünü bulmak çok daha kolay olacaktır. Önceki bir adımda, en azından ilk on iki mükemmel kareyi ve köklerini ezberlemenizi öneririz. İyi haber şu ki, tahmini, bildiğimiz iki tam kare arasındaki kusurlu bir karenin köküne ilişkin bir yaklaşık değer elde etmek için kullanabiliriz. Bunun için, ilk tam kareyi istenen sayıdan daha büyük ve sonuncusu küçük olanı bulmamız gerekiyor, böylece söz konusu sayı ikisi arasında olsun. Ardından, bu iki mükemmel kareden hangisinin istenen sayının köküne en yakın olduğunu bulmaya çalışmalıyız.
   • Örneğin, 40'ın karekökünü bulmamız gerektiğini varsayalım. Tam karelerimizi ezberlediğimiz için 40'ın 6 ile 7 arasında, yani 36 ile 49 arasında olduğunu söyleyebiliriz. 40, 6'dan büyük olduğu için karekökü olacaktır. 6'dan büyük. Benzer şekilde, 7'den küçük olduğu için kökü 7,40'tan az olacak, 36'ya 49'dan biraz daha yakın, bu yüzden cevabımız muhtemelen 6'ya daha yakın olacak. , tahmininizin doğruluğunu artıracağız.

2. 

   Kesinliği bir ondalık basamağa yükseltin. Numaranızı içeren bir aralık oluşturan iki ardışık mükemmel kareyi bulduğunuzda, tahminin doğruluğunu tatmin edici olduğunu düşündüğünüz bir noktaya yükseltmeye çalışın. Tahmini iyileştirmek için ne kadar çok girişimde bulunulursa, doğruluk o kadar büyük olur. Başlamak için, ilk ondalık basamağın değerini tahmin edin. Bu tahminin doğru olması gerekmez, ancak cevaba en yakın olması muhtemel bir değeri seçmek için mantığı kullanmak süreci kolaylaştıracaktır.
   • Örneğimizde, 40'ın karekökü için kabul edilebilir bir tahmin olabilir 6,4çünkü cevabın muhtemelen 6'ya 7'den biraz daha yakın olduğunu biliyoruz.

3. 

   Tahmini kendi başına çarpın. Çok şanslı değilseniz, sonuç başlangıç ​​numarası olmayacaktır (örneğimizde 40). Doğru cevaba yaklaşmak için tahmini ayarlamanız gerekecek.Sonuç, başlangıç ​​sayısının üstündeyse (yani, 40'ın üzerindeyse), daha düşük bir tahmin deneyin. Aynı şekilde sonuç istenilen sayının altındaysa tahmini artırın.
   • 6.4 × 6.4 = elde etmek için 6.4'ü kendi kendine çarp 40,96, bu bizim ilk sayımızdan biraz daha yüksek.
   • Şimdi, tahminimiz doğru değerin hemen üzerinde olduğu için, onu 6,3 × 6,3 elde etmek için onda bir düşürelim = 39,69. Şimdi sonuç orijinal sayımızdan biraz daha azdı. Bu, 40'ın kökünün bir sayı olduğu anlamına gelir 6,3 ile 6,4 arasında. Dahası, 39.69, 40.96'dan 40'a daha yakın olduğundan, kökün 6.4'e değil 6.3'e daha yakın olacağını biliyoruz.

4. 

   Gerekirse tahmini iyileştirmeye devam edin. Bu noktada, cevaptan memnunsanız, tahmin olarak ilk yaklaşımlardan birini kullanın. Ancak, daha doğru bir cevaba ihtiyacınız varsa, sadece cevabı tahmin etmeye çalışın. ikinci ondalık hane, önceki ikisi arasında bir değer seçerek (yani 6,3 ile 6,4 arasında). Bu yöntemi kullanarak, yalnızca yanıt için gereken kesinliğe bağlı olarak dört, beş vb. Olmak üzere üç ondalık basamak tahmin edebiliriz.
   • Örneğimizde, tahminimizi iki ondalık basamağa yapmak için 6,33'ü seçebiliriz. 6.33 × 6.33 = 40.0689 elde etmek için 6.33'ü tek başına çarpın. Bu sonuç başlangıç ​​sayımızın biraz üzerinde olduğu için, 6.32 gibi biraz daha düşük bir değer seçebiliriz. Bu durumda 6,32 × 6,32 = 39,9424, sonuç başlangıç ​​numarasının biraz altında. Bu nedenle, 40'ın tam kökünün olduğu sonucuna varabiliriz 6,32 ile 6,33 arasında. Gerekirse, istenen sayının köküne giderek daha doğru yaklaşımlar elde etmek için bu yönteme devam edebiliriz.

İpuçları

• Hızlı bir düzeltmeye ihtiyacınız varsa, bir hesap makinesi kullanın. Modern hesap makinelerinin çoğu karekökleri anında hesaplayabilir. Genel olarak, herhangi bir sayıyı yazmanız ve karekök simgeli düğmeye basmanız yeterlidir. Örneğin 841'in kökünü bulmak için, cevabı almak için 8, 4, 1 ve ardından (√) tuşlarına basmanız yeterlidir: 39.